聽說“9”和“44”與錯(cuò)位排列更配哦-部分錯(cuò)位排列問題

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在上篇中，我們見識(shí)了數(shù)字“9”和“44”與全錯(cuò)位排列問題的“瘋狂”。其實(shí)，根據(jù)需要進(jìn)行錯(cuò)位排列的元素是否用完，可將錯(cuò)位排列問題分為：全錯(cuò)位排列問題和部分錯(cuò)位排列問題。所以，下面我們還要單獨(dú)解讀一下部分錯(cuò)位排列問題。

一、什么鬼?

【引例】五位同學(xué)坐在一排，現(xiàn)讓五位同學(xué)重新坐，至多有兩位同學(xué)坐自己原來的位置，則不同的坐法有 種。

這道題可以分三類解決：

第一類，所有同學(xué)都不坐自己原來的位置;

第二類，恰有一位同學(xué)坐自己原來的位置;

第三類，恰有兩位同學(xué)坐自己原來的位置。

對(duì)于第一類，就是上篇的全錯(cuò)位排列問題;對(duì)于第二、第三類有部分元素還占有原來的位置，其余元素可以歸結(jié)為全錯(cuò)位排列問題，我們稱這種排列問題為部分錯(cuò)位排列問題。

二、腫么破?

對(duì)于上面引例這樣的問題，我們究竟怎么解呢?請(qǐng)看下文：

設(shè)n個(gè)元素的全錯(cuò)位排列數(shù)為Dn，則第一類的排列數(shù)為D5;

第二類：先確定一個(gè)排在原來位置的同學(xué)有=5種可能，其余四個(gè)同學(xué)全錯(cuò)位排列，所以第二類的排列數(shù)為5D4;

第三類：先確定兩個(gè)排在原位的同學(xué)，有=10種，所以第三類的排列數(shù)為10D3。

因此，上面引例的答案為：D5+5D4+10D3。

回憶一下上篇講的重要結(jié)論：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265……

所以答案=D5+5D4+10D3=44+45+20=109種。

可見，類似于這樣的問題并不難，因?yàn)?ldquo;部分錯(cuò)位排列問題”也可以轉(zhuǎn)化為“全錯(cuò)位排列問題”來求解，所以我們還是要記住全錯(cuò)位排列問題中“9”和“44”的“瘋狂”。

三、腫么考?

【例1】(2017國考)某集團(tuán)企業(yè)5個(gè)分公司分別派出1人去集團(tuán)總部參加培訓(xùn)。培訓(xùn)后再將5人隨機(jī)分配到這5個(gè)分公司，每個(gè)分公司只分配1人。問5個(gè)參加培訓(xùn)的人中，有且僅有1人在培訓(xùn)后返回原分公司的概率：( )

A. 低于20% B. 在20%~30%之間

C. 在30%~35%之間 D. 大于35%

【答案】D

【解析】部分全錯(cuò)位排列問題、概率問題。

本題是概率問題，概率公式很簡單，“概率=滿足條件的情況數(shù)÷總的情況數(shù)”。概率的解題關(guān)鍵還是排列組合，因?yàn)槠?ldquo;滿足條件的情況數(shù)”與“總的情況數(shù)”都涉及到排列組合。

“滿足條件的情況數(shù)”：考題非常生活化，類似于“華圖教育集團(tuán)從5個(gè)分公司分別派出1名老師去北京總部參加培訓(xùn)。培訓(xùn)后再將5名老師分別分配到這5個(gè)分公司，要求有且僅有1人在培訓(xùn)后返回到原來自己的分公司”。這就是典型的“部分錯(cuò)位排列問題”，第一步先確定回到自己分公司的那1個(gè)人有=5種可能，第二步將其余的4人進(jìn)行全錯(cuò)位排列有D4種，根據(jù)乘法原理，可得“滿足條件的情況數(shù)”=5D4=5×9=45種。

“總的情況數(shù)”：5人隨機(jī)分配到5個(gè)分公司，一共有=120種。

所以，所求概率=45/120=3/8=37.5%。因此，本題答案選擇D選項(xiàng)。

可見，本題的關(guān)鍵，還是在于“滿足條件的情況數(shù)”的分析，也就是錯(cuò)位排列問題的考查，只要把5D4=5×9=45種找到了，本題就迎刃而解了。

綜上，對(duì)于全錯(cuò)位排列問題也好，部分錯(cuò)位排列問題也罷，當(dāng)元素不是很多時(shí)，我們可以通過分類討論的方案，對(duì)問題進(jìn)行討論求解，但當(dāng)元素較多時(shí)往往討論起來非常麻煩，所以熟記全錯(cuò)位排列數(shù)顯得很實(shí)用。特別是要記住：數(shù)字“9”和“44”與錯(cuò)位排列更配哦!

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