一招搞定2018年國(guó)考行測(cè)高頻考點(diǎn)之容斥原理

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• 數(shù)資易錯(cuò)點(diǎn)
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在國(guó)家公務(wù)員行測(cè)考試中，數(shù)量關(guān)系部分往往有這樣一類題型，看似簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，卻利用到了包含與排斥的解題思路，這就是我們平常課堂所講的容斥原理。容斥原理是十九世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特首先建立的，公考中的容斥原理主要為兩集合和三集合型。解決這一類問題主要有公式法和圖示法兩種解題方法，無(wú)論哪種解題方法，基本思路都一致，就是先不管有沒有重復(fù)，統(tǒng)統(tǒng)加起來，再減去重復(fù)的部分。下面就從簡(jiǎn)單的兩集合型講起：

兩集合容斥問題有所謂的標(biāo)準(zhǔn)型和非標(biāo)準(zhǔn)型，區(qū)別在在于標(biāo)準(zhǔn)型要么都滿足要么都不滿足，來道真題感知一下：

【例1】(2006年安徽)某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是：

A、22 B、18

C、28 D、26

這道題目中共兩次考試，也就是兩集合問題。題干中要么都及格，要么都不及格，這就是典型的兩集合標(biāo)準(zhǔn)型。有固定的公式可套：

滿足條件A+滿足條件B-兩者都滿足=總數(shù)-兩者都不滿足

根據(jù)公式可列式：26+24-都及格=32-4 得及格人數(shù)=22人

當(dāng)然容斥問題都可以用圖示法來解決：

A、B兩圓所占的面積大小可以表示為：A+B-A∩B

也可以表示為：總數(shù)-AB都不滿足。即兩集合標(biāo)準(zhǔn)型公式

兩集合容斥原理還存在非標(biāo)準(zhǔn)型，與標(biāo)準(zhǔn)型的區(qū)別在于題干中存在只滿足某個(gè)條件，比如：

【例2】(2014年國(guó)考)工廠組織職工參加周末公益活動(dòng)，有80%的職工報(bào)名參加，報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)與報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)比為2：1，兩天的活動(dòng)都報(bào)名參加的為只報(bào)名參加周日活動(dòng)的人數(shù)的50%，問未報(bào)名參加活動(dòng)的人數(shù)是只報(bào)名參加周六活動(dòng)的人數(shù)的：

A.20% B.30%

C.40% D.50%

這道題題干中存在只報(bào)名參加周日的，也有只報(bào)名參加周六的。這類非標(biāo)準(zhǔn)型優(yōu)先用圖示法解答。

這個(gè)題目沒有任何一個(gè)具體的量，所以我們要設(shè)置未知數(shù)，一般設(shè)兩者都滿足的量(最中間部分)為X，只滿足周日為帶斜線的部位(注意：它與滿足周日意義不一樣)為2X，那整個(gè)周日為3X，則整個(gè)周六為6X，只滿足周六為5X�？偣仓芰�周日加起來參加的人數(shù)為8X，未參加的人數(shù)為2X,最后可得未參加的人數(shù)是只參加周六人數(shù)的40%。這道題的解題思路就按照?qǐng)D示法的思路一步一步把每一部分的數(shù)量表示出來。

最后我們來講講三集合容斥原理，同樣的思路，先把三個(gè)集合的量加起來，再減去重復(fù)的部分。首先看看簡(jiǎn)單的三集合標(biāo)準(zhǔn)型：

【例3】(2015年陜西)針對(duì)100名旅游愛好者進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)，28人喜歡泰山，30人喜歡華山，42人喜歡黃山，8人既喜歡黃山又喜歡華山，10人既喜歡泰山又喜歡黃山，5人既喜歡華山又喜歡泰山，3人喜歡這三個(gè)景點(diǎn)，則不喜歡這三個(gè)景點(diǎn)中任何一個(gè)的有( )人。

A、 20 B、 18

C、 17 D、 15

根據(jù)容斥原理的基本思路，先把喜歡三座名山的人數(shù)加起來，28+30+42=100人，再減去重復(fù)的部分，比如8人既喜歡黃山又喜歡華山，這8個(gè)人相加時(shí)就被計(jì)算了兩次，需減去一次，即減去黃山和華山的重疊部分，同理減去黃山和泰山的重疊部分，減去泰山和華山的重疊部分。減完之后中間這一小部分前面加了三次，后面又減去了三次，所以最后必須再加上三者共同的部分。100-8-10-5+3=80，這80人表示至少喜歡一座山的人數(shù)，那一座山都不喜歡的就是20人，選A。

這種題型就是我們常說的“既...又...”，對(duì)應(yīng)的方法是就是先加起來，在減去兩兩重復(fù)的部分，最后把三者都滿足的加起來即是滿足條件的總?cè)藬?shù)。

最后我們來講講容斥原理中最復(fù)雜的題目，三集合的另外一種題型，我們來看看這一類題型的特征：

【例4】(2010年國(guó)考)某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語(yǔ)六級(jí)考試的有89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人：

A.120 B.144

C.177 D.192

這道題和第三題的相同部分是都先給出了A、B、C三個(gè)集合的大小，不同的是上一道題后面給出的條件是“既...又...”,這一題給出的是滿足兩個(gè)條件的數(shù)目，滿足三個(gè)條件的數(shù)目。也就是最后在剔除重復(fù)時(shí)，滿足兩個(gè)條件的只需要剔除一次，而滿足三個(gè)條件的必須剔除兩次。圖三中，滿足一個(gè)條件的是1、3、7三個(gè)部分;滿足兩個(gè)條件是2、4、6三個(gè)部分;滿足三個(gè)條件的是5這個(gè)部分。把滿足一個(gè)條件、兩個(gè)條件、三個(gè)條件的加起來就是全部。

所以這道題解題思路：63+89+47-24×2-46+15=120人。

通過四道題，把數(shù)量關(guān)系中容斥原理�？嫉乃念愵}型簡(jiǎn)單的闡述了一下�；�于的原理都是一致的，容斥原理都是先把各個(gè)集合的數(shù)目加起來，再減去重復(fù)的部分，就可以得到滿足條件的總數(shù)目。只不過在剔除重復(fù)部分時(shí)，有一類是先減去兩兩重復(fù)的部分，最后發(fā)現(xiàn)減光了再加上三者重疊的部分;或者題干中的條件是按計(jì)算次數(shù)給的，那計(jì)算兩次的減去一次，計(jì)算三次的減去兩次，統(tǒng)統(tǒng)只要保留一次即可。有了這一招考生日后碰到容斥原理的題目解題就更加得心應(yīng)手了!

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