2020年國家公務(wù)員考試：容斥極值

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說到行測考試，很多考生首先就想到了頭疼的理科題目，數(shù)量關(guān)系和資料分析。數(shù)量關(guān)系考的內(nèi)容紛繁多樣，每年都有新的類型，新的難題出現(xiàn)，也真是難為每年絞盡腦汁在那里出題目的老師，也更難為了我們的同學(xué)。不過，做數(shù)學(xué)時(shí)我們必須能夠發(fā)散思維，學(xué)會逆向思維。既然有變化，那么當(dāng)然也有不變的，我們需要去掌握一些不變的東西，以不變應(yīng)萬變。今天華圖教育跟大家探討的就是容斥問題之中的一個考點(diǎn)“容斥極值”。

【例1】某個25人的班級開展班會，需要表演節(jié)目，因此統(tǒng)計(jì)了所有學(xué)生的愛好。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：有24個學(xué)生喜愛唱歌，有10個學(xué)生喜愛跳舞，有17個學(xué)生喜愛演奏樂器。請問至少有多少學(xué)生三種活動都喜歡。

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】A。本題是標(biāo)準(zhǔn)的容斥極值問題，求三者相交的最小值。所謂的三者容斥即是題干中，唱歌、跳舞、演奏樂器3個愛好相互交叉，總?cè)藬?shù)只有25個人，所以有些人可能會喜愛2種樂器，有些人可能會喜歡3種樂器。那怎么解決這樣題目的呢，我們開頭的時(shí)候說過逆向思維，現(xiàn)在依舊可以利用逆向思維。有24個喜歡唱歌，那么就有1個人不喜歡唱歌，有10個喜歡跳舞，那么就有15個不喜歡跳舞，有17個喜歡演奏樂器，那么就有8個人不喜歡演奏。下面劃重點(diǎn)了。1、假設(shè)這3批人都是沒有重復(fù)的，相互獨(dú)立的。因此在25個人里面去掉不喜歡唱歌的，不喜歡跳舞的，不喜歡演奏樂器的，剩下的就只是三者都喜歡的了，唯一的一個人是最少的。2、假設(shè)這3批不喜歡的人中間存在相互重復(fù)的人，那么可想而知�？�?cè)藬?shù)就不能直接去掉這3批人了，因?yàn)橹虚g有重復(fù)的人，會被重復(fù)去計(jì)數(shù)。那么3者最少的就不止1個人了。

通過以上實(shí)際上我們可以總結(jié)出一個公式，幫助我們，在遇到這類問題的時(shí)候，那就可以直接套公式解決。上述題目的最后的解決式子可以這么列：25-(25-24)-(25-10)-(25-17)=1，整理一下可以得出，14+10+17-2×25=1。如果用I來表示總?cè)藬?shù)，用A、B、C來代替24、10、17，可以得出A+B+C-2×I。

那接下來，需要學(xué)以致用。

【例2】到了年度總結(jié)的時(shí)候，對所有人進(jìn)行考勤的審查，發(fā)現(xiàn)，90%的人上午請過假，80%的人下午請過假，請問上午下午都請過假的人最少有多少。

A.60% B.50% C.80% D.70%

【答案】D。這題目相較于上一道來說，其實(shí)更加的簡單。這題只是兩者容斥問題，我們需要舉一反三，前面我們給出相應(yīng)的三者容斥問題了，那么這個只有兩個，我們套用公式的話，只需要90%+80%-100%=70%。是不是相當(dāng)?shù)暮唵巍?/p>

那么我們是不是可以以此類推，4者、5者、6者呢，是不是可以這么整理下來：

兩者容斥最少：A+B-I

三者容斥最少：A+B+C-2×I

四者容斥最少：A+B+C+D-3×I

那么我們相信聰明的同學(xué)們一定能夠推測出更多情況下的公式了。通過這種題目希望傳達(dá)2個意思：第一個，學(xué)會逆向思維;第二個，能夠舉一反三。這在我們數(shù)學(xué)中是處處可見的，華圖教育希望大家在新的一年里面能夠行測申論兩開花。成功上岸!

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