精選備考題-數(shù)量關系知識點之插空法vs插板法

2021年山西省公務員考試行測筆試中，數(shù)量模塊題目增加到了十五道題，其中排列組合類題目一直是數(shù)量模塊的高頻考點，近年來，基本每年都會出現(xiàn)一道或者兩道題，而排列組合模塊又因其題目難度大而令許多考生望而生畏。但雖然排列組合模塊難，技巧性卻很強，接下來小編將給各位考生介紹在排列組合解題中使用比較頻繁的兩種方法，即插空法和隔板法。

一、插空法

所謂插空法就是題目當中要求某幾個元素“不相鄰”、“不相連”或“不在一起”時，可以優(yōu)先安排其他元素，再將要求不相鄰的元素插入已經安排好的元素的間隙或者兩端即可。下面小編以兩道題目為例，進一步說明如何使用插空法。

【例題1】把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側，每側種植9棵，要求每側的柏樹數(shù)量相等且不相鄰，且道路起點和終點處兩側種植的都必須是松樹。問有多少種不同的種植方法?( )

A. 36 B. 50

C. 100 D. 400

【答案】C

【解析】排列組合問題。題目當中要求“每側的柏樹數(shù)量相等且不相鄰”，滿足插空法適用題型。兩側數(shù)量相同即一側柏樹3棵，松樹6棵，分步進行，先安排一側再安排另一側，采用插空法。優(yōu)先安排6棵松樹，因為完全相同，所以有一種方法，再將3棵柏樹插入空中，因為松樹要在兩端，所以共5個空，則方法數(shù)有種，兩側都安排分步共10×10=100種方法。

因此，選擇C選項。

【例題2】某興趣組有男女生各5名，他們都準備了表演節(jié)目。現(xiàn)在需要選出4名學生各自表演1個節(jié)目，這4人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生連續(xù)表演節(jié)目。那么，不同的節(jié)目安排有( )種。

A. 3600 B. 3000

C. 2400 D. 1200

【答案】C

【解析】排列組合問題。要求4名學生且既要有男生、也要有女生，則滿足要求的情況有3女1男、2男2女兩種情況，第一種情況男生只有一個，則直接選出候選者排序即可，有種。第二種情況男生兩個且不連續(xù)，滿足插空法使用條件，選出候選者先安排女生，即種，分類進行，相加共2400種方法。

因此，選擇C選項。

由此可見，求解排列組合題目時，當題干滿足插空法適用題型時，可以應用該方法，能夠達到事半功倍的效果。使用插空法的同時注意考慮，題干當中到底用排列還是組合取決于是否需要考慮順序，例題1中因為元素相同，所以用組合即可，例題2中因為安排不同的人表演節(jié)目，需要考慮順序，用排列。

二、隔板法

如果題目表述為一組相同的元素分成數(shù)量不等的若干組，要求每組至少一個元素，則將隔板插入元素之間，計算出分類總數(shù)。使用隔板法時需要注意不可將隔板放在所有元素的兩端，也不可以放在同一個位置，否則為無效的隔板。下面小編以兩道題目為例，進一步說明如何使用隔板法。

1.n個相同的元素，分配給m個人，每人至少一個的方法數(shù)有種。

【例題3】將7個大小相同的桔子分給4個小朋友，要求每個小朋友至少得到1個桔子，一共有( )種分配方法。

A. 14 B. 18

C. 20 D. 22

【答案】C

【解析】排列組合問題。題目為7個大小相同的桔子，元素相同，分配給4個小朋友，每人至少一個，滿足隔板法使用條件，可直接套用第一條結論，方法數(shù)有種。

因此，選擇C選項。

2.n個相同的元素，分配給m個人，每人至少z(z>1)個的方法數(shù)有種。

【例題4】某領導要把20項任務分配給三個下屬，每個下屬至少分得三項任務，則共有多少種不同的分配方式( )。

A. 28 B. 36

C. 54 D. 78

【答案】D

【解析】排列組合問題。方法一：題目滿足隔板法使用條件，每人至少三項任務，可先給每人分配兩項任務，則總任務還剩20-3×2=14項，再按照結論1套用公式即可，方法數(shù)有種。

因此，選擇D選項。

方法二：直接套用結論2，方法數(shù)共有種。

因此，選擇D選項。

綜上可以看出，插空法適用于元素要求不相鄰的情況，插入空中的是元素本身，而隔板法是分組時用的方法，即將n個相同的元素分成m組時，在n個元素之間插入m-1個隔板的過程。兩種方法在求解排列組合題目時技巧性強，希望各位同學可以勤加練習!

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