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2022國考行測數(shù)量關系干貨之容斥問題巧解方法

2021-08-30 15:53:40 公務員考試網(wǎng) 華圖教育微信公眾號 華圖在線APP下載 文章來源:廣東分院

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行測中的容斥問題一直以來都是學員的痛點,學員喜歡用公式去解這類題,然而對于復雜的容斥問題,只用公式是很難解題的。鑒于這種情況,筆者建議廣大學員靈活運用容斥原理,結合畫圖法能夠輕松解決容斥問題。

那么什么是容斥原理呢?很簡單,多個集合(一般是兩個或者三個)在計數(shù)的時候,不考慮重復的情況,先將各個集合的所有對象的數(shù)量“包容”進來,然后再把重復計數(shù)的數(shù)量“排斥”出去。下面,筆者將通過畫圖法對兩種題型進行詳細的講解。

題型一:兩集合容斥問題

兩集合容斥問題抽象出來就是“符合A類,符合B類,A、B都符合”結合畫圖法表示如下:

其中:A類的數(shù)量=圖形1的面積+圖形2的面積(簡寫成A=1+2)

B類的數(shù)量=圖形2的面積+圖形3的面積(簡寫成B=2+3)

圖形1的面積=只符合A類的數(shù)量(符合A不符合B的數(shù)量)

圖形2的面積=既符合A類又符合B類的數(shù)量(簡稱都符合)

圖形3的面積=只符合B類的數(shù)量(符合B不符合A的數(shù)量)

圖形4的面積=既不符合A類又不符合B類的數(shù)量(簡稱都不,有些題目中沒有都不一項)

總體的數(shù)量=A+B-2+4

例1:某單位有60名運動員參加運動會開幕式,他們著裝白色或黑色上衣,黑色或藍色褲子。其中有12人穿白上衣藍褲子,有34人穿黑褲子,29人穿黑上衣,那么穿黑上衣黑褲子的有多少人?

A. 12

B. 14

C. 15

D. 29

【答案】C

【解析】:第一步,本題考查容斥問題,屬于二集合容斥類

第二步,將穿黑褲子看成符合A類,將穿黑上衣看成符合B類,那么穿白上衣藍褲子就是都不符合,而問題問的是都符合,設數(shù)量為x,運用畫圖法如下圖所示即60=34+29-x+12,解得x=15。

因此,選擇C選項。

例2:某公司100名員工對甲、乙兩名經(jīng)理進行滿意度評議,對甲滿意度的人數(shù)占全體參加評議的3/5,對乙滿意的人數(shù)比甲的人數(shù)多6人,對甲乙都不滿意的占對甲乙都滿意人數(shù)的1/3多2人,則對甲乙都滿意的人數(shù)是多少?

A. 36人

B. 26人

C. 48人

D. 42人

【答案】D

【解析】:第一步,本題考查容斥問題,屬于二集合容斥類。

第二步,將對甲滿意看成符合A類,將對乙滿意看成符合B類,而問題問的是都符合設其數(shù)量為x,對甲乙都不滿意的數(shù)量為x/3+2。

第三部,運用畫圖法如下圖所示,即100=60+66-x+ x/3+2,解得x=42。

因此,選擇D選項。

題型二:三集合容斥問題

三集合容斥問題抽象出來就是“符合A類,符合B類,符合C類,都符合”結合畫圖法表示如下:

其中A類的數(shù)量=圖形1 +圖形4 +圖形5積+圖形6的總面積(簡寫成A=1+4+5+6)

B=2+4+5+7,C=3+4+6+7

圖形1的面積=只符合A類的數(shù)量

圖形2的面積=只符合B類的數(shù)量

圖形3的面積=只符合C類的數(shù)量

圖形4的面積=三類都符合的數(shù)量

圖形8的面積=三類都不符合的數(shù)量(有些題目中沒有都不一項)

考點1:4+5=既符合A又符合B的數(shù)量

4+6=既符合A又符合C的數(shù)量

4+7=既符合B又符合C的數(shù)量

考點2:5+6+7=符合兩種類型的數(shù)量(即只符合兩種類型的總數(shù)量)

總體的數(shù)量=A+B+C-(4+5)-(4+6)-(4+7)+4+8(考點1)

總體的數(shù)量=A+B+C-(5+6+7)-圖形4面積的兩倍+8(考點2)

例3:對39種食物中是否含有甲、乙、丙三種維生素進行調(diào)查,結果如下:含甲的有17種,含乙的有18種,含丙的有15種,含甲、乙的有7種,含甲、丙的有6種,含乙、丙的有9種,三種維生素都不含的有7種,則三種維生素都含的有多少種?

A. 4

B. 6

C. 7

D. 9

【答案】A

【解析】:第一步,本題考查容斥問題,屬于三集合容斥類。

第二步,這道題屬于三集合容斥問題考點1,把含有甲維生素看成符合A類,含有乙維生素看成符合B類,含有丙維生素看成符合C類,而問題問的是三類都符合的數(shù)量設為x。

第三步,運用畫圖法如下圖所示,即39=17+18+15-7-6-9+x+7,解得x=4。

因此,選擇A選項。

小結:此題屬于考點1,畫圖標數(shù)的時候要注意符合A與B類,符合A與C類,符合B與C類區(qū)域,在圖中分別用箭頭把三個區(qū)域的不同數(shù)量標示出來,比如此題中的“含甲、乙的有7種,含甲、丙的有6種,含乙、丙的有9種”。

例4:某鄉(xiāng)鎮(zhèn)舉行運動會,共有長跑、跳遠和短跑三個項目。參加長跑的有49人,參加跳遠的有36人,參加短跑的有28人,只參加其中兩個項目的有13人,參加全部項目的有9人。那么參加該次運動會的總人數(shù)為多少?

A. 75

B. 82

C. 88

D. 95

【答案】B

【解析】:第一步,本題考查容斥問題,屬于三集合容斥類。

第二步,這道題屬于三集合容斥問題考點2,把長跑看成符合A類,跳遠看成符合B類,短跑看成符合C類,而問題問的是總體的數(shù)量設為x。

第三步,運用畫圖法如下圖所示即x=49+36+28-13-2×9,解得x=82。

因此,選擇B選項。

小結:此題屬于考點2,畫圖標數(shù)的時候要注意只符合兩種類型的區(qū)域,在圖中總共有3個小區(qū)域,在這里可以標上符合△,表示△區(qū)域總面積為只符合兩種類型的總數(shù)量,比如此題中的“只參加其中兩個項目的有13人”。同時,這道題并沒有給出都不符合的條件,故不需要畫出最外邊的方框。

例5:對某單位的100名員工進行調(diào)查,結果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽,38人喜歡看戲劇,52人喜歡看電影,既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人,既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人,三種都喜歡看的有12人,則只喜歡看電影的有多少人?

A. 22

B. 28

C. 30

D. 36

【答案】A

【解析】:第一步,本題考查容斥問題,屬于三集合容斥類。

第二步,這道題屬于三集合容斥問題的考點1,但是在此基礎上加大了一點兒難度。把看球賽看成符合A,看戲劇看成符合B,看電影看成符合C,題目中沒有給出都不喜歡這個條件,所以本題畫圖時不用畫方框,并且缺少既符合B又符合C這個條件,所以常規(guī)解法受阻。

第三步,由于問題求的是只喜歡看電影的人數(shù),即是求下圖a中陰影部分面積,設其為x,運用畫圖法如下圖b所示。圖a中除開陰影部分,剩下部分面積即為求兩集合容斥問題的數(shù)量,那么總面積=陰影部分面積+剩下部分面積。即100=x+(58+38-18),解得x=22。

因此,選擇A選項。

圖a

圖b

總結:這五道題充分利用了畫圖法的特性—直觀性,使得解題過程極其簡單,而且容易想到。所以筆者建議學員用畫圖法去解充斥問題,就再也不用糾結公式中字母的數(shù)學含義,能在做題的過程當中達到事半功倍的效果。

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