2022國(guó)考行測(cè)數(shù)量關(guān)系之巧解不定方程

百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何?”。設(shè)x,y,z分別表示雞翁、母、雛的個(gè)數(shù)，則此問題即為求不定方程組的非負(fù)整數(shù)解x,y,z，這是一個(gè)不定方程組的問題。

在數(shù)量關(guān)系中，有些考生在解不定方程時(shí)往往不知如何下手，其實(shí)不定方程的相關(guān)知識(shí)和方法并不復(fù)雜，今天我們就一起來梳理一下。

不定方程是指形如“ax+by=c”的方程，其中a,b為系數(shù)，像這種未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程叫做不定方程。如3x+4y=16就是不定方程，這種方程的解是不確定的。如果不加限制的話，它的解有無數(shù)組，但如果附加一些限制條件的話，就會(huì)使得這個(gè)方程僅有唯一解是滿足條件的，如3x+4y=16的解有&x=1&y=3.25,&x=2&y=2.5,⋯。如果限定x,y為不超過5的正整數(shù)，那么解就只有&x=4&y=1這一組了。因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對(duì)解的影響。此類方程的解法可從系數(shù)a,b的奇偶性入手，具體而言可分為兩種情況：

①若a,b一奇一偶，則可以考慮奇偶性，根據(jù)“奇反偶同”判斷x或y的奇偶性解不定方程;

②若a,b同為奇數(shù)，則可以考慮公因子法、帶入排除法或特殊數(shù)字如5、10的倍數(shù)利用尾數(shù)法解不定方程。

下面我們就以幾道例題來進(jìn)行詳細(xì)講解：

【例1】某班有56名學(xué)生，每人都參加了a、b、c、d、e五個(gè)興趣班中的其中一個(gè)。已知有27人參加a興趣班，參加b興趣班的人數(shù)第二多，參加c、d興趣班的人數(shù)相同，e興趣班的參加人數(shù)最小，只有6人，問參加b興趣班的學(xué)生人數(shù)有多少個(gè)?( )

A.7個(gè) B.8個(gè)

C.9個(gè) D.10個(gè)

【答案】C

【解析】設(shè)五個(gè)興趣班的人數(shù)分別數(shù)a、b、c、d、e人，則可以得到 b+2c=23。顯然系數(shù)為1和2即一奇一偶，23為奇數(shù)，根據(jù)奇反偶同得知 b 是奇數(shù)，排除 B、D選項(xiàng)，代入 A 選項(xiàng)，得知b=7，c=8，7<8，不滿足題意，故選C。

【例2】現(xiàn)有5盒動(dòng)畫卡片，各盒卡片張數(shù)分別為：7、9、11、14、17。 卡片按圖案分為米老鼠、葫蘆娃、喜羊羊、灰太狼4種，每個(gè)盒內(nèi)裝的是同圖案的卡片。已知米老鼠圖案的卡片只有一盒，而喜羊羊、灰太狼圖案的卡片數(shù)之和比葫蘆娃圖案的多1倍，那么圖案為米老鼠的卡片的張數(shù)為( )

A. 7 B. 9

C. 14 D. 17

【答案】A

【解析】5盒動(dòng)畫卡片共有7+9+11+14+17=58(張)，喜羊羊、灰太狼圖案的卡片數(shù)之和比葫蘆娃圖案的多1倍，即是葫蘆娃的2倍。那么喜羊羊+灰太狼+葫蘆娃=3×葫蘆娃，那么3×葫蘆娃+米老鼠=58，顯然系數(shù)3和1均為奇數(shù)，且無公因數(shù)，故采用帶入排除的思想。代入A選項(xiàng)，得葫蘆娃=17，米老鼠=7，代入B、C、D選項(xiàng)，葫蘆娃的張數(shù)均得不到正整數(shù)解，故選A。

【例3】甲、乙兩種筆的單價(jià)分別為7元、3元，某小學(xué)用60元錢買這兩種筆作為學(xué)科競(jìng)賽一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品。錢恰好用完，則這兩種筆最多可買的支數(shù)是( )

A.12 B.13

C.16 D.18

【答案】C

【解析】設(shè)購(gòu)買甲、乙兩種筆的數(shù)量分別為x,y，則7x+3y=60，在總費(fèi)用一定的前提下，要使得購(gòu)買數(shù)量盡可能多，即甲種筆要盡量的少，根據(jù)等式，顯然系數(shù)為7和3均為奇數(shù)，“3y和60”均含有因子3，則x必然是3的倍數(shù)，則x=3，y=13，總支數(shù)是 16。故選 C。

【例4】超市將99個(gè)蘋果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋果，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋果，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少個(gè)?

A.3 B.4

C.7 D.13

【答案】D

【解析】設(shè)大、小盒子各有x、y個(gè)，由大盒每個(gè)裝12個(gè)，小盒每個(gè)裝5個(gè)，恰好裝99個(gè)，得到12x+5y=99。根據(jù)奇偶特性，其中12x是偶數(shù)、99為奇數(shù)，故5y為奇數(shù);顯然5y為5的倍數(shù)，且尾數(shù)為5，則12x的尾數(shù)為4，可得x=2或x=7，當(dāng)x=2時(shí)，y=15，符合共有十多個(gè)盒子，此時(shí)15-2=13;當(dāng)x=7時(shí)，y=3，不符合共十多個(gè)盒子(剛好十個(gè))。故兩種包裝盒相差 13個(gè)，選擇 D選項(xiàng)。

以上就是關(guān)于不定方程的求解問題，小伙伴們是不是發(fā)現(xiàn)并沒有如大家想象的那么復(fù)雜呢，其實(shí)對(duì)于不定方程來說，知識(shí)點(diǎn)還是很容易理解的，只要大家勤學(xué)多練，對(duì)于所講的求解方法靈活運(yùn)用，熟能生巧，一定會(huì)掌握的游刃有余。

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