2021-10-05 15:46:06 公務(wù)員考試網(wǎng) 文章來源:山西分院
不定方程是指未知數(shù)的個數(shù)多于獨立方程個數(shù)的一類方程。一般形式為:ax+by=c,其中,ab≠0,且a,b,c均為正整數(shù)。一般題目中會規(guī)定關(guān)于x、y的取值條件,從而確定其取值。
不定方程在數(shù)量關(guān)系的考查中一直是很重要的題型之一,國考及聯(lián)考常有涉及,尤其在國考中考查的頻率較高。不定方程的考查方式比較固定,規(guī)律性強,在數(shù)量關(guān)系中反而是容易掌握的一種題型。那我們今天來一起了解不定方程的幾種常見的解題方法:
1.代入排除
在行測考試中,數(shù)量關(guān)系均為客觀題,每道題目都有對應(yīng)的四個選項,在沒有其它思路的情況下,最快解不定方程的方法就是根據(jù)題意列好方程后,結(jié)合選項依次進行代入驗證,找到唯一符合題干條件的選項,即為正確答案。具體運用如下題:
【例】辦公室工作人員使用紅、藍兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件。每個紅色文件袋可以裝7份文件,每個藍色文件袋可以裝4份文件。要使每個文件袋都恰好裝滿,需要紅色、藍色文件袋的數(shù)量分別為多少個:
A.1、6 B.2、4
C.3、2 D.4、1
【分析】第一步,本題考查不定方程問題,用代入排除法解題。
第二步,設(shè)紅、藍文件袋數(shù)量分別為x、y,由恰好裝滿,可得7x+4y=29。可依次代入選項:
A選項,7×1+4×6≠29,排除;
B選項,7×2+4×4≠29,排除;
C選項,7×3+4×2=29,符合題意。
因此,選擇C選項。
2.奇偶性
奇偶性是解不定方程很常見的方法。即結(jié)合式子中已知量的奇偶性來推導(dǎo)式子中未知數(shù)的奇偶性。但是在用好奇偶性解題之前要熟悉奇偶的性質(zhì):
(1)偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù);奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù);偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)
性質(zhì)1:任意兩個數(shù)性質(zhì)相同(同奇或同偶),則這兩個數(shù)兩個數(shù)的和(差)一定為偶數(shù);任意兩個數(shù)性質(zhì)相反(一奇一偶),則這兩個數(shù)兩個數(shù)的和(差)一定為奇數(shù)。逆推則
為奇反偶同。
偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù);奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù);偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)
性質(zhì)2:任意兩個數(shù)相乘,若可以確定其中一個數(shù)為偶數(shù),那么這兩個數(shù)的乘積一定為偶數(shù)。反之,任意兩個奇數(shù)相乘,乘積一定為奇數(shù),即有偶則偶。
結(jié)合以上的奇偶性質(zhì),在不定方程一般式中的ax,by,c三個量中,若已知ax和c或者已知by和c的奇偶性,則可推導(dǎo)剩余量的奇偶性,進一步確定x或y的取值。具體運用如下題:
【例】某兒童藝術(shù)培訓(xùn)中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師,培訓(xùn)中心將所有的鋼琴學(xué)員和拉丁舞學(xué)員共76人分別平均地分給各個老師帶領(lǐng),剛好能夠分完,且每位老師所帶的學(xué)生數(shù)量都是質(zhì)數(shù)。后來由于學(xué)生人數(shù)減少,培訓(xùn)中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師,但每名教師所帶的學(xué)生數(shù)量不變,那么目前培訓(xùn)中心還剩下學(xué)員多少人?
A.36 B.37
C.39 D.41
【分析】第一步,本題考查不定方程問題。
第二步,設(shè)每名鋼琴、拉丁舞老師分別帶領(lǐng)學(xué)員x、y人,由共76人,可列不定方程5x+6y=76。根據(jù)奇偶特性,其中6y、76為偶數(shù),則5x為偶數(shù),故x既為偶數(shù)也為質(zhì)數(shù),2是唯一的偶質(zhì)數(shù),所以x=2,y=11,即每名鋼琴老師帶2名學(xué)員,每名拉丁舞老師帶11名學(xué)員。
第三步,由所帶學(xué)生數(shù)不變可得,剩余學(xué)員有4×2+3×11=41(人)。
因此,選擇D選項。
3.尾數(shù)法
在不定方程ax+by=c中,當(dāng)未知數(shù)(x,y)前面的系數(shù)以0或者5結(jié)尾時,可以考慮用尾數(shù)法來解不定方程。因為任何正整數(shù)與5的乘積其尾數(shù)只有0或5兩種可能(其中5與偶數(shù)的乘積尾數(shù)為0,5與奇數(shù)的乘積尾數(shù)為5),任何正整數(shù)與0的乘積其尾數(shù)只能為0;谶@樣的規(guī)律,我們就可以通過確定的尾數(shù)來判斷未知數(shù)的取值。尾數(shù)法在解不定方程中使用頻率較低,常常與奇偶性結(jié)合起來使用。具體運用如下題:
【例】超市將99個蘋果裝進兩種包裝盒,大包裝盒每個裝12個蘋果,小包裝盒每個裝5個蘋果,共用了十多個盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少個?
A.3 B.4
C.7 D.13
【分析】第一步,本題考查基礎(chǔ)應(yīng)用題,用不定方程解題。
第二步,設(shè)大、小包裝盒各有x、y個,由大盒每個裝12個、小盒每個裝5個,可知12x+5y=99。根據(jù)奇偶特性,其中12x為偶數(shù)、99為奇數(shù),故5y為奇數(shù),可得y為奇數(shù),所以,其尾數(shù)為5。此時12x尾數(shù)為9-5=4,可得x=2或x=7。
第三步,代入驗證,當(dāng)x=2時,y=15,符合共十多個盒子,此時15-2=13;當(dāng)x=7時,y=3,不符合共十多個盒子(剛好十個)。故兩種包裝盒相差13個。
因此,選擇D選項。
4.倍數(shù)(整除)法
倍數(shù)法是解不定方程較常用的方法。即通過觀察不定方程ax+by=c中,ax或by與c之間是否有共同的公約數(shù)(或共同被某個非1的整數(shù)整除),從而判斷x或y含某個因數(shù)來確定取值。例如,ax+by=c中,若ax為5的倍數(shù)且c也為5的倍數(shù),那么就可確定by也為5的倍數(shù),當(dāng)b不是5的倍數(shù)時,則y為5的倍數(shù),則y的取值可為5,10,15,20……;具體運用如下題:
【例】高校的科研經(jīng)費按來源分為縱向科研經(jīng)費和橫向科研經(jīng)費,某高校機械學(xué)院2015年前4個月的縱向科研經(jīng)費和橫向科研經(jīng)費的數(shù)字從小到大排列為20、26、27、28、31、38、44和50萬元。如果前4個月縱向科研經(jīng)費是前3個月橫向科研經(jīng)費的2倍,則該校機械學(xué)院2015年第4個月的橫向科研經(jīng)費是多少萬元?
A.26 B.27
C.28 D.31
【分析】第一步,本題考查不定方程問題。
第二步,設(shè)前3個月橫向科研經(jīng)費為x,第4個月橫向科研經(jīng)費為y,則前4個月縱向科研經(jīng)費為2x。根據(jù)題意可得,x+y+2x=20+26+27+28+31+38+44+50,化簡為3x+y=264。由于3x與264皆為3的倍數(shù),故y必為3的倍數(shù),結(jié)合選項,只有27符合。
因此,選擇B選項。
以上就是本期向大家介紹的解普通不定方程的4個方法。希望大家在理解的基礎(chǔ)上能夠進一步熟練應(yīng)用。后續(xù)還有關(guān)于不定方程組求解的方法繼續(xù)給大家分享。希望大家登錄華圖教育官網(wǎng)查看學(xué)習(xí)!
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