“容斥問題+最值”的快速求解

在近年來的公職考試中，容斥問題的考查頻次越來越高，并且對(duì)于容斥問題的考查已經(jīng)不僅僅是對(duì)于公式的考查，現(xiàn)在還會(huì)與最值問題進(jìn)行結(jié)合。那么關(guān)于容斥與最值結(jié)合的題目，我們也給大家總結(jié)了一些技巧和方法，大家可以直接套用這個(gè)方式去進(jìn)行解題。

一、題型特征：題干主體為容斥問題，問題中出現(xiàn)“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼。

例如：某單位有72名職工，為豐富業(yè)余生活，擬舉辦書法、乒乓球和圍棋培訓(xùn)班，要求每個(gè)職工至少參加一個(gè)班。已知三個(gè)班報(bào)名人數(shù)分別為36、20、28，則同時(shí)報(bào)名三個(gè)班的職工數(shù)至多是()人。

二、解題思路：將所求量設(shè)為未知數(shù)，根據(jù)題目要求結(jié)合容斥問題的公式進(jìn)行列式，分析未知數(shù)的大小極值關(guān)系，得到結(jié)果。

三、例題詳解：

【2019遼寧】某班在籌備聯(lián)歡會(huì)時(shí)發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都會(huì)唱歌和樂器演奏，但有部分同學(xué)這2種才藝都不會(huì)。具體有4種情況：只會(huì)唱歌，只會(huì)樂器演奏，唱歌和樂器演奏都會(huì)，唱歌和樂器演奏都不會(huì)�，F(xiàn)知會(huì)唱歌的有22人，會(huì)樂器演奏的有15人，兩種都會(huì)的人數(shù)是兩種都不會(huì)的5倍。這個(gè)班至多有()人。

A.27B.30

C.33D.36

【答案】C

【思路解析】設(shè)該班共有x人，唱歌和樂器演奏都不會(huì)的有y人，則兩種都會(huì)的有5y人，根據(jù)二集合容斥公式可得：x-y=22+15-5y，化簡(jiǎn)得：x=37-4y。要使x最大，則y應(yīng)最小，當(dāng)y=1時(shí)，x=33，故這個(gè)班至多有33人。因此，選擇C選項(xiàng)。

【2019甘肅】某單位工會(huì)會(huì)員60人，現(xiàn)在組織會(huì)員報(bào)名參加興趣活動(dòng)小組，其中報(bào)名徒步組的有40人，羽毛球組的有38人，乒乓球組的有31人，這三項(xiàng)活動(dòng)都報(bào)名的有18人，問這個(gè)單位工會(huì)會(huì)員中最多有多少人三個(gè)小組都沒有報(bào)名?

A.14B.15

C.16D.18

【答案】A

【思路解析】設(shè)報(bào)名兩項(xiàng)的人數(shù)為x，三項(xiàng)都未報(bào)名參賽的人數(shù)為y，根據(jù)三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式可得：40+38+31-x-2×18=60-y，化簡(jiǎn)得y=x-13。要讓三項(xiàng)都未報(bào)名的y最多，則讓x盡量多�？紤]讓報(bào)名兩項(xiàng)的人數(shù)x盡量多，則除了報(bào)名三項(xiàng)之外的人，剩余盡量報(bào)名兩項(xiàng)，此時(shí)x最多為(40+38+31-3×18)÷2=27.5(人)，向下取整為27人，即x最多為27，故y最多為x-13=27-13=14(人)。因此，選擇A選項(xiàng)。

【2019青海】一次期末考試，某班同學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：

求：這個(gè)班最多有多少人?

A.45B.51

C.53D.55

【答案】B

【思路解析】設(shè)班級(jí)總數(shù)為x人，其中三門都90分以上的為y人，根據(jù)三集合容斥標(biāo)準(zhǔn)公式有x-5=23+21+20-8-6-10+y，化簡(jiǎn)為x=45+y。其中y最多只能有6人，那么x此時(shí)最大為45+6=51(人)。因此，選擇B選項(xiàng)。

對(duì)于這種類型的題目，重點(diǎn)就是最后分析所求量的大小關(guān)系，那么大家在進(jìn)行分析的時(shí)候，要注意好題目的限定條件，對(duì)應(yīng)確定其中的范圍，最后計(jì)算求解。相信大家用好這個(gè)方法，對(duì)于容斥問題+最值問題的計(jì)算應(yīng)該會(huì)非�？焖�。

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