2022公務(wù)員行測備考之巧解數(shù)量關(guān)系三集合容斥問題

容斥問題是數(shù)量關(guān)系�？碱}型之一，其考查頻次低于經(jīng)濟(jì)利潤問題，行程問題，幾何問題，排列組合與概率等考點。雖然容斥問題的考查頻次低于上述高頻考點，但容斥問題一旦考查到考生經(jīng)常會出錯。究其原因，是因為考生不太熟悉容斥問題。在中學(xué)階段，考生并未學(xué)習(xí)容斥問題。雖然容斥問題和集合有關(guān)系，但中學(xué)階段并未系統(tǒng)型地闡述兩者之間的關(guān)系，也未涉及到相關(guān)的習(xí)題。因此對大多數(shù)考生而言，容斥問題是新的考點，是以前的學(xué)習(xí)中未曾接觸的考點，因此做題過程中經(jīng)常出錯。而三集合的容斥問題，考生更容易出錯。接下來介紹三集合中常考的標(biāo)準(zhǔn)型和非標(biāo)準(zhǔn)型公式。

一 、 三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式

三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=總的-三者都不。

關(guān)鍵記住左邊各項及正負(fù)號，單個的是加號，兩兩相交的是減號，三三相交的是加號，即“+”、“-”、“+” 。

【例 1 】 針對100名旅游愛好者進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)，28人喜歡泰山，30人喜歡華山，42人喜歡黃山，8人既喜歡黃山又喜歡華山，10人既喜歡泰山又喜歡黃山，5人既喜歡華山又喜歡泰山，3人喜歡這三個景點，則不喜歡這三個景點中任何一個的有多少人?

A.20 B.18

C.17 D.15

E.14 F.13

G.12 H.10

【答案】 A

【解析】 本題問的是 不喜歡 三個景點中任何一個的有多少人，即三個都不喜歡的有多少人，結(jié)合題干判定本題為三集合容斥問題 。設(shè)三個景點都不喜歡的有 x 人，根據(jù)三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=總的-三者都不，得 28+30+42-(8+10+5)+3=100-x ，解得 x=20 。 因此，選擇 A 選項 。

三集合標(biāo)準(zhǔn)型難度不大，直接套公式即可 。三集合容斥問題關(guān)鍵是判斷題型，當(dāng)題干中出現(xiàn)“三者都”或者“三者都不”時，要想到三集合的容斥問題。如果題干的已知條件完全匹配標(biāo)準(zhǔn)型公式，直接用標(biāo)準(zhǔn)型公式即可。

二 、 三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式

三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式：A+B+C-滿足兩個的-2×滿足三個的=總的-三者都不

在三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式中，滿足兩個的只需要減掉一次，而滿足三個的需要減掉兩次，即三者都需要減兩次。

【例 2 】某企業(yè)調(diào)查用戶從網(wǎng)絡(luò)獲取信息的習(xí)慣，問卷回收率為90%，調(diào)查對象中有179人使用搜索引擎獲取信息，146人從官網(wǎng)站獲取信息，246人從社交網(wǎng)站獲取信息，同時使用這三種方式的有115人，使用其中兩種的有24人，另有52人這三種方式都不使用，問這次調(diào)查共發(fā)出了多少份問卷?

A. 310 B. 360

C. 390 D. 410

【答案】 D

【解析】 本題 題干中出現(xiàn)了 “三者都”、“三者都不” ，判定本題求的是 三集合容斥問題 。設(shè)本次回收的問卷數(shù)量為 x， 根據(jù)三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式， 得 179+146+246-24-2×115=x-52 ， 解得 x= 369 。根據(jù)問卷回收率為 90%，可得發(fā)出問卷的數(shù)量為369÷90%=410(份)。 因此，選擇 D 選項 。

在三集合容斥問題中，如果出現(xiàn)了“滿足兩個”或者“只滿足兩個”，就要考慮是否可以用三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式。

【例 3 】一個班級組織跑步比賽，共設(shè)100米、200米、400米三個項目。班級有50人，報名參加100米比賽的有27人，參加200米比賽的有25人，參加400米比賽的有21人。如果每人最多只能報名參加2項比賽，那么該班最多有多少人未報名參賽?

A. 11 B. 12

C. 13 D. 14

【答案】 C

【解析】 本題 題干中出現(xiàn)了 每人最多只能報名參加2項比賽，即出現(xiàn)了 “只滿足兩個” ，判定本題求的是 三集合容斥問題 。 根據(jù) 每人最多只能報名參加2項比賽，則報名三項比賽的人數(shù)為 0。 設(shè)參加兩項 比賽 的有 x人，未報名參賽的有y人， 根據(jù)三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式， 得 27 + 25 + 21 - x - 0 = 50 - y，化簡得y=x - 23。要使y盡量大，則x盡可能大。要使x盡可能大，則每個人盡量 參加兩項比賽，參加兩項比賽的人最多為( 27+25+21 ) ÷2=36.5，人數(shù)必須為整數(shù)， x 最多是36人。 解得 y = 36-23= 13 。因此，選擇 C 選項 。

小結(jié)： 1.三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式涉及的量較多，條件較為苛刻。如果出現(xiàn)了兩兩相交，考慮用標(biāo)準(zhǔn)型公式。

2.三集合容斥問題中，如果出現(xiàn)“滿足兩個”或者“只滿足兩個”，考慮用非標(biāo)準(zhǔn)型公式。

3.在三集合標(biāo)準(zhǔn)型和非標(biāo)準(zhǔn)型公式中， “三者都”、“三者都不”可以取 0 。

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