每日一題之數(shù)量（2022年11月16日）

(單選題)書法大賽的觀眾對5幅作品進行不記名投票。每張選票都可以選擇5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在選擇不超過2幅作品時才為有效票。5幅作品的得票數(shù)(不考慮是否有效)分別為總票數(shù)的69%、63%、44%、58%和56%。問本次投票的有效率最高可能為多少?

A.65%

B.70%

C.75%

D.80%

解析

解法一：

第一步，本題考查最值問題，屬于反向構(gòu)造。

第二步，賦值觀眾100人，那么5幅作品得票數(shù)分別是69、63、44、58、56，共290票。想要投票有效率最高，即有效投票人數(shù)最高，反向構(gòu)造無效投票人數(shù)最少。根據(jù)“不超過”，令所有有效投票觀眾都投2幅作品，無效人數(shù)都投5幅作品時，多余票數(shù)290-100×2=90所對應的人數(shù)最少。因此無效人數(shù)為(人)，投票有效人數(shù)為100-30=70(人)，有效率是70%。

因此，選擇B選項。

解法二：

第一步，本題考查最值問題，屬于反向構(gòu)造。

第二步，賦值觀眾100人，那么5幅作品得票數(shù)分別是69、63、44、58、56，共290票。想要投票有效率最高，即有效投票人數(shù)最高，反向構(gòu)造無效投票人數(shù)最少。根據(jù)“不超過”，令所有有效投票觀眾都投2幅作品，無效人數(shù)都投5幅作品時，有效票率最高，設有效票觀眾人數(shù)為x，則無效票觀眾人數(shù)為(100-x)人，可列方程2x+5(100-x)=290，解得x=70，即有效票率為70÷100=70%。

因此，選擇B選項。

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