國(guó)考數(shù)學(xué)運(yùn)算必會(huì)——解不定方程

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國(guó)考數(shù)學(xué)運(yùn)算必會(huì)——解不定方程。方程思想是考生使用最廣泛的方法，涉及設(shè)、列、解三部分內(nèi)容，題型可分為一般方程，方程組，不定方程以及不定方程組問(wèn)題。其中考生普遍認(rèn)為不定方程及不定方程組的解法困難，然而，不定方程問(wèn)題又是考試重點(diǎn)題型之一，所以需要考生備考時(shí)能夠把握解題思路。以下將分別使用數(shù)字特性，奇偶特性，尾數(shù)法，代入排除法，賦零法及配系數(shù)法來(lái)幫助大家梳理解題思路。

一、不定方程

不定方程通常指兩個(gè)未知數(shù)由題意只能列出一個(gè)方程的情況，如果想求出未知數(shù)的具體值，就需要題干中有對(duì)未知數(shù)的條件設(shè)置，如果沒(méi)有限定只能用代入排除解出具體值。如：

【例1】超市將99個(gè)蘋果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋果，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋果，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問(wèn)兩種包裝盒相差多少個(gè)?( )

A.3B.4

C.7D.13

【解析】設(shè)大盒x個(gè)，小盒y個(gè)，則由題意得12x+5y=99。由奇偶特性有12x為偶數(shù)，而5y需要為奇數(shù)才能使得等式成立，因此5y的尾數(shù)只能是5，那么12x的尾數(shù)只能是4。因此x=2或x=7，代入當(dāng)x=2時(shí)可得y=15;當(dāng)x=7時(shí)y=3，但由于x+y=10，不合題意，舍去。所以兩種包裝盒相差為15-2=13個(gè)，選D。

二、不定方程組

不定方程組通常指三個(gè)未知數(shù)由題意可列出兩個(gè)方程的情況，通�？梢岳�用加減消元法去除一個(gè)未知數(shù)，然后按照不定方程的解法求解。如：

【例2】20人乘飛機(jī)從甲市前往乙市，總費(fèi)用為27000元。每張機(jī)票的全價(jià)票單價(jià)為2000元，除全價(jià)票之外，該班飛機(jī)還有九折票和五折票兩種選擇。每位旅客的機(jī)票總費(fèi)用除機(jī)票價(jià)格之外，還包括170元的稅費(fèi)。則購(gòu)買九折票的乘客與購(gòu)買全價(jià)票的乘客人數(shù)相比：

A.兩者一樣多B.買九折票的多1人

C.買全價(jià)票的多2人D.買九折票的多4人

【解析】設(shè)全價(jià)票x張;九折票y張;五折票z張，則有：

化簡(jiǎn)可得

x+y+z=20

10x+9y+5z=118

要知x與y的關(guān)系，消元z，可得5x+4y=18，奇偶性x要為偶數(shù)，那么只有x=y=2的時(shí)候，等式成立。選A。

【例3】某公司的6名員工一起去用餐，他們各自購(gòu)買了三種不同食品中的一種，且每人只購(gòu)買了一份。已知蓋飯15元一份，水餃7元一份，面條9元一份，他們一共花費(fèi)了60元。問(wèn)他們中最多有幾人買了水餃?( )

A.1B.2

C.3D.4

【解析】解法一：設(shè)買蓋飯、水餃、面條的人分別有x、y、z，則消去z，得6x-2y=6，即y=3(x-1)，由于x，y都是整數(shù)，所以y應(yīng)為3的倍數(shù)，由題意可知，y最多取3，選C。

解法二： 觀察二式發(fā)現(xiàn)15x，9z，60都是3的倍數(shù)。那么7y也應(yīng)該是3的倍數(shù)，所以y應(yīng)該是3的倍數(shù)，滿足條件的選項(xiàng)只有C。

【例4】甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了43元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用多少錢?( )

A. 21元B. 11元

C. 10元D. 17元

【解析】解法一：設(shè)簽字筆每支x元，圓珠筆每支y元，鉛筆每支z元，則可得，(1)×3-(2)×2=x+y+z=10，選C。

解法二：設(shè)簽字筆每支x元，圓珠筆每支y元，鉛筆每支z元，則可得 ，3個(gè)未知數(shù)，2個(gè)方程，無(wú)法解出所有未知數(shù)，因此我們可以令系數(shù)稍大的未知數(shù)y=0，然后可求出x=11，z=-1，即x+y+z=10，選C。

【華圖提示】解法一配系數(shù)巧妙，在考場(chǎng)中，由于時(shí)間緊張，考生未必想到。然而，系數(shù)一般是出題人巧妙設(shè)計(jì)，鼓勵(lì)考生嘗試。使用解法二時(shí)要注意題干要求的是整體和，當(dāng)求單一個(gè)體值時(shí)不能用設(shè)零法。

通過(guò)這幾道例題希望大家對(duì)不定方程問(wèn)題的解法有所了解，并在日后的練習(xí)中熟練運(yùn)用。當(dāng)然以上思想只是解題的方法之一，最終的目的是幫助大家梳理思路希望大家以此提高做題的速度和準(zhǔn)確率。華圖祝各位考生考試順利，勇奪頭籌。

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