2022國考行測(cè)之巧解余數(shù)問題

在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”翻譯成白話文就是：有一個(gè)數(shù)不知道是多少，只知道這個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)數(shù)是多少?這個(gè)問題叫做“韓信點(diǎn)兵問題”，是我國古代數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶。發(fā)展至今，這個(gè)問題也叫做“中國剩余定理”。

在公考中，余數(shù)問題的解題方法除了代入排除法，還可以使用“中國剩余定理”快速求解。此定理知識(shí)點(diǎn)如下：余同取余，和同加和，差同減差，公倍數(shù)做周期。具體解釋如下：

若一個(gè)數(shù)除以3余1，除以4余1，除以5余1，則這個(gè)數(shù)可以表示成60n+1,n取正整數(shù);

若一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，則這個(gè)數(shù)可以表示成60n+7,n取正整數(shù);

若一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余4，除以6余5，則這個(gè)數(shù)可以表示成60n-1,n取正整數(shù);

接下來，我們通過2道真題詳細(xì)講解此定理的應(yīng)用。

【例1】一個(gè)盒子里有乒乓球100多個(gè)，如果每次取5個(gè)出來最后剩下4個(gè)，如果每次取4個(gè)最后剩3個(gè)，如果每次取3個(gè)最后剩2個(gè)，那么如果每次取12個(gè)最后剩多少個(gè)?

A.11

B.10

C.9

D.8

【答案】A

【解析】根據(jù)條件，我們可以得到的信息是：這盒乒乓求除以5余數(shù)為4，除以4余數(shù)為3，除以3余數(shù)為2，5-4=1，4-3=1，3-2=1，做差之后差相同，都是1，符合中國剩余定理里面的差同減差這種情況，因此這盒乒乓球的個(gè)數(shù)可以表示成60n-1。因?yàn)閭�(gè)數(shù)有100多個(gè)，所以n取2或者3，當(dāng)n=2時(shí)，總個(gè)數(shù)是119，那么每次取12個(gè)，119，余數(shù)是11;當(dāng)n=3時(shí)，總個(gè)數(shù)是179，，余數(shù)是11，所以余數(shù)都是11，選擇A選項(xiàng)。

【例2】苗苗有一堆草莓，樂樂也有一堆草莓。苗苗的草莓五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，最后剩兩個(gè)，七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)，最后還是剩兩個(gè);樂樂的草莓五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，最后剩四個(gè)，六個(gè)六個(gè)地?cái)?shù)，最后剩三個(gè)。已知苗苗比樂樂多8個(gè)草莓，則苗苗的草莓?dāng)?shù)為：

A.37

B.62

C.72

D.77

E.87

F.92

G.102

H.107

【答案】H

【解析】根據(jù)條件分析，可以得到信息如下：苗苗的草莓除以5余2，除以7余2，余數(shù)相同，都是2，符合定理里面的余同取余這種情況，所以苗苗的草莓個(gè)數(shù)可以表示成35n+2，n取正整數(shù);樂樂的草莓除以5余4，除以6余3，5+4=9，6+3=9，和相同，都是9，符合定理里面的和同加和這種情況，所以樂樂的草莓個(gè)數(shù)可以表示成30m+9，m取正整數(shù)。根據(jù)選項(xiàng)分析，苗苗的個(gè)數(shù)可以是37，72，107中的一個(gè)，樂樂的個(gè)數(shù)可以是39，69，99中的一個(gè)，因?yàn)槊缑绲膫�(gè)數(shù)比樂樂多8個(gè)，107-99=8，符合要求，所以苗苗的個(gè)數(shù)是107，樂樂的個(gè)數(shù)是99，因此，選擇H選項(xiàng)。

怎么樣?小伙伴們，你學(xué)會(huì)了嗎?讓我們動(dòng)動(dòng)腦，動(dòng)動(dòng)手，做一做后面的2題吧。

【練習(xí)1】有一支參加閱兵的隊(duì)伍正在進(jìn)行訓(xùn)練，這支隊(duì)伍的人數(shù)是5的倍數(shù)且不少于1000人，如果按每橫排4人編隊(duì)，最后少3人，如果按每橫排3人編隊(duì)，最后少2人;如果按每橫排2人編隊(duì)，最后少1人。請(qǐng)問，這支隊(duì)伍最少有多少人?

A.1045

B.1125

C.1235

D.1345

【答案】A

【練習(xí)2】某校二年級(jí)全部共3個(gè)班的學(xué)生排隊(duì)。每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人。這個(gè)學(xué)校二年級(jí)有多少名學(xué)生?

A.120

B.122

C.121

D.123

【答案】B

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