2022國(guó)考行測(cè)備考之不定方程的四大解題秘籍

首先，各位考生需要了解什么是不定方程。在考試中我們會(huì)遇到類似3x+4y=21這樣的方程，這種方程的特點(diǎn)在于：未知數(shù)的個(gè)數(shù)>方程的個(gè)數(shù)，這樣的方程在未知數(shù)沒有任何限制的條件下，解是不固定的，所以我們稱之為不定方程。

不定方程屬于方程的一種，但是在解題難度上會(huì)略高于普通方程，如何把這種略難的問題快速掌握和解決呢?其實(shí)各位考生只需要掌握以下四種方法即可。

一、代入排除法

【例】設(shè) a、b 均為正整數(shù)，若 11a+7b=84，則 a 的值為:

A.4

B.5

C.7

D.8

【解析】

第一步，通過未知數(shù)個(gè)數(shù)>方程個(gè)數(shù)，可以判定本題屬于不定方程問題。

第二步，通過代入排除，將選項(xiàng)中a的值代入等式11a+7b=84驗(yàn)證，解出b應(yīng)為正整數(shù)即可。通過代入，四個(gè)選項(xiàng)中只有當(dāng)a=7時(shí)，b的值為整數(shù)1滿足條件。 因此，選擇C選項(xiàng)。

【技巧總結(jié)】當(dāng)不定方程問題中只是簡(jiǎn)單的求解某個(gè)量，而不是未知量的和差或乘積關(guān)系，可以考慮代入排除法求解。

二、整除法

【例】9x+4y=81，x和y為正整數(shù)，求y=( )?

A.3

B.6

C.18

D.45

【解析】

第一步，通過未知數(shù)個(gè)數(shù)>方程個(gè)數(shù)，可以判定本題屬于不定方程問題。

第二步，通過對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行觀察，不難發(fā)現(xiàn)9x的系數(shù)9和常數(shù)項(xiàng)81都能被9整除。根據(jù)乘法分配律，如果一個(gè)能被9整除的數(shù)加上另一個(gè)數(shù)的和能被9整除，那么另一個(gè)數(shù)也一定能被9整除，因此4y能被9整除，但4不能被9整除，所以只能是y被9整除，因此得出y是9的倍數(shù)，所以直接選擇C，這種方法我們稱之為“整除法”。

【技巧總結(jié)】不定方程中，未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有公約數(shù)時(shí)，考慮整除法求解。

三、奇偶性

【例2】2x+3y=25，x和y為正整數(shù)，求y=( )?

A.2

B.4

C.6

D.7

【解析】

第一步，通過未知數(shù)個(gè)數(shù)>方程個(gè)數(shù)，可以判定本題屬于不定方程問題。

第二步，觀察等式兩邊的每一項(xiàng)，2是偶數(shù)，偶數(shù)的正整數(shù)倍也一定是偶數(shù)，而25是一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)加上另一個(gè)數(shù)的和是奇數(shù)，說明另一個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，也就是說3y一定是奇數(shù)，而3是奇數(shù)，奇數(shù)只有乘以奇數(shù)才能得到奇數(shù)，所以y必須是奇數(shù)，選項(xiàng)中只有D滿足條件，因此選擇D選項(xiàng)。

【技巧總結(jié)】不定方程中，未知數(shù)的系數(shù)為一奇一偶時(shí)，考慮未知數(shù)的奇偶性。

四、尾數(shù)法

【例3】5x+6y=72，x和y為正整數(shù)，x與y的和不大于13，求xy=( )?

A.12

B.0

C.24

D.42

【解析】

第一步，通過未知數(shù)個(gè)數(shù)>方程個(gè)數(shù)，可以判定本題屬于不定方程問題。

第二步，觀察題干中的系數(shù)我們發(fā)現(xiàn)，5這個(gè)數(shù)比較特殊，因?yàn)檎�整�?shù)與5相乘的結(jié)果，尾數(shù)只有0或5兩種情況，因此我們可以通過尾數(shù)來進(jìn)行快速求解。當(dāng)然，因?yàn)槲粗獢?shù)的系數(shù)為一奇一偶，所以在這個(gè)過程中我們也可以結(jié)合奇偶性法來解題。利用奇偶性我們能判斷6y是偶數(shù)，72是偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，所以能夠確定5x是偶數(shù)，再根據(jù)尾數(shù)法確定5x的尾數(shù)只能是0，72的尾數(shù)是2，那么6y的尾數(shù)只能是2，所以y可以取的值只有2或7。當(dāng)y=2時(shí)，x=12;當(dāng)y=7時(shí)，x=6.由于x與y的和不大于13,所以滿足條件的只有y=7，x=6，6×7=42，因此選擇D。

【技巧總結(jié)】不定方程中，未知數(shù)的系數(shù)為5的倍數(shù)時(shí)，考慮尾數(shù)法。

以上就是常用的不定方程的四大解題方法，各位考生如果能深入理解并靈活運(yùn)用，那么不定方程問題便能被輕松攻破。

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