2022國(guó)考行測(cè)數(shù)量關(guān)系備考干貨之分類分步的廣義與狹義

很多讀者學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系時(shí)，第一次接觸“分類”與“分步”這兩個(gè)概念，是在排列組合與概率這一章節(jié)。因此，很多人潛意識(shí)里會(huì)認(rèn)為分類與分步是排列組合與概率的一個(gè)下屬小考點(diǎn)。這種認(rèn)識(shí)顯然是不全面的，是狹義的。這就好比，我喝了一杯加糖的豆?jié){，我不能把糖認(rèn)為是豆?jié){的附屬，眾所周知，糖的用途是非常廣泛的。鑒于此，本文的主要目的是說(shuō)清楚分類與分步的狹義與廣義，尤其是廣義。

我們先從排列組合說(shuō)起。比如快餐店午餐準(zhǔn)備了6葷3素，小明要吃2葷1素，那么，第一步小明要在6個(gè)葷菜里選擇2個(gè)葷菜，第二步，要在3個(gè)素菜里選擇1個(gè)素菜，這就是個(gè)分步解決問(wèn)題的思路，也就是俗稱的乘法原理。小紅的午餐也是從這6葷3素里選擇3道菜，但搭配相對(duì)寬松，只需葷素搭配就可以了，那么，擺在小紅面前的首要問(wèn)題是吃2葷1素，還是吃1葷2素，這個(gè)問(wèn)題就是分類，也就是俗稱的加法原理。但是，事實(shí)上，分步不完全等價(jià)于計(jì)算乘法，分類也不完全等價(jià)于計(jì)算加法，這種等價(jià)僅僅是被排列組合這個(gè)背景綁架了的分類與分步的狹義概念罷了。

接下來(lái)，我們把分類與分步的概念適度推廣，在數(shù)量關(guān)系的背景下，分類主要是指在解題過(guò)程中，我們思考解決一道題目，需要分為幾種情況，分類這里也就相當(dāng)于分情況的意思。例如，我們看下面這道考題：

某籃球隊(duì)共有九人，分三組舉行三人制籃球賽，他們的球衣號(hào)碼分別是從1號(hào)到9號(hào)，分組后發(fā)現(xiàn)三組的球衣號(hào)碼之和不同，且最大和是最小和的兩倍。則各組號(hào)碼之和不可能是下列哪個(gè)數(shù)?

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

第一種情況，也就是“最大和”的極端情況。根據(jù)題意“最大和”應(yīng)有7號(hào)、8號(hào)、9號(hào)組成，“最大和”為24，推出“最小和”為12(例如由3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)組成)，第三組為1號(hào)、2號(hào)、6號(hào)，之和為9，與上述“最小和”形成矛盾。因此，此情況無(wú)效。

第二種情況，鑒于最大和是最小和的兩倍，因此最大和必須為偶數(shù)。假設(shè)“最大和”為22(例如由5號(hào)、8號(hào)、9號(hào)組成)，推出“最小和”為11(例如由1號(hào)、4號(hào)、6號(hào)組成)，第三組為2號(hào)、3號(hào)、7號(hào)，之和為12，無(wú)矛盾，符合題目要求，因此選項(xiàng)B、C不可選。

第三種情況，假設(shè)“最大和”為20(例如由3號(hào)、8號(hào)、9號(hào)組成)，那么，“最小和”為10(例如由1號(hào)、2號(hào)、7號(hào)組成)，第三組為4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)，之和為15，無(wú)矛盾，符合題目要求，因此選項(xiàng)A不可選。綜上，選擇D選項(xiàng)。

回顧上述解題思路，實(shí)際上就是分情況討論的過(guò)程，也就是分類的過(guò)程，但它并不完全等同于加法原理。

我們?cè)賮?lái)體驗(yàn)分步，在數(shù)量關(guān)系的背景下，分步主要是指在解題過(guò)程中，我們思考解決一個(gè)問(wèn)題，需要分幾個(gè)步驟，這里的“步”主要指“步驟”。例如，我們看下面這道考題：

一種設(shè)備打九折出售，銷售12件與原價(jià)出售銷售10件時(shí)獲利相同。已知這種設(shè)備的進(jìn)價(jià)為50元/件，其他成本為10元/件。問(wèn)如打八折出售，1萬(wàn)元最多可以買多少件?

A. 80

B. 83

C. 86

D. 90

我們來(lái)分析一下這道題目：要想知道1萬(wàn)元最多可以買多少件，就得知道打八折后的單件售價(jià)是多少元，要想知道打八折后的單件售價(jià)是多少元，就得知道最初的單件售價(jià)是多少元。因此，本題的解題步驟大體可分為以下三步：

第一步，求出最初單價(jià)售價(jià)。設(shè)最初單件售價(jià)為元，根據(jù)“一種設(shè)備打九折出售，銷售12件與原價(jià)出售銷售10件時(shí)獲利相同”，可列方程，解得。

第二步，求出打八折后的單件售價(jià)元。

第三步，1萬(wàn)元可以買到的件數(shù)為件，即選擇B。

回顧上述解題思路，實(shí)際上分步驟解決問(wèn)題的過(guò)程，也就是分步的過(guò)程，但它也并不完全等同于乘法原理。

我們把分類與分步的概念再度推廣，大家看下面兩幅圖，哪個(gè)是分類，哪個(gè)是分步呢?

最后，我們以思維導(dǎo)圖的形式，把本文脈絡(luò)進(jìn)行梳理。

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