2023數(shù)量關(guān)系一點通：三集合容斥原理

在行政職業(yè)能力測驗考試中，數(shù)量關(guān)系科目有很多的解題技巧、方法和公式。尤其是利用公式法解題，只需大家掌握公式，考試時直接套用公式，就可以快速準(zhǔn)確地解題。比如數(shù)量關(guān)系中常考的一種題型容斥原理，就可以用公式法解題。

今天我們就一起來學(xué)習(xí)一下用公式法解決三集合容斥原理的題目。三集合容斥原理分成標(biāo)準(zhǔn)型和非標(biāo)準(zhǔn)型兩種，三集合標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式為：滿足條件1的個數(shù)+滿足條件2的個數(shù)+滿足條件3的個數(shù)-滿足條件1和2的個數(shù)-滿足條件1和3的個數(shù)-滿足條件2和3的個數(shù)+三者都滿足的個數(shù)=總個數(shù)-三者都不滿足的個數(shù);三集合非標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式為：滿足條件1的個數(shù)+滿足條件2的個數(shù)+滿足條件3的個數(shù)-“只”滿足兩個條件的個數(shù)-2×三者都滿足的個數(shù)=總個數(shù)-三者都不滿足的個數(shù)。

那么下面我們一起看幾個例題，應(yīng)用一下公式法去求解三集合容斥原理。

【例1】(2019新疆)某機關(guān)開展紅色教育月活動，三個時間段分別安排了三場講座。該機關(guān)共有139人，有42人報名參加第一場講座，51人報名參加第二場講座，88人報名參加第三場講座，三場講座都報名的有12人，只報名參加兩場講座的有30人。問沒有報名參加其中任何一場講座的有多少人?

A.12

B.14

C.24

D.28

【答案】A

【解析】第一步，本題考查容斥原理，用公式法解題。

第二步，設(shè)沒有報名參加其中任何一場講座的有x人。根據(jù)三集合非標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式，可列方程42+51+88-30-2×12=139-x，解得x=12。(或者使用尾數(shù)法解題)

因此，選擇A選項。

【例2】(2018陜西)有關(guān)部門對120種抽樣食品進行化驗分析，結(jié)果顯示，抗氧化劑達標(biāo)的有68種，防腐劑達標(biāo)的有77種，漂白劑達標(biāo)的有59種，抗氧化劑和防腐劑都達標(biāo)的有54種，防腐劑和漂白劑都達標(biāo)的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達標(biāo)的有35種，三種食品添加劑都達標(biāo)的有30種，那么三種食品添加劑都不達標(biāo)的有多少種?

A.14

B.15

C.16

D.17

E.18

F.19

G.20

H.21

【答案】E

【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類，用公式法解題。

第二步，按照三集合容斥標(biāo)準(zhǔn)型公式，直接設(shè)三種食品添加劑都不達標(biāo)的為x種，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18(可用尾數(shù)法計算)。

因此，選擇E選項。

【例3】(2019河北)某班參加學(xué)科競賽人數(shù)40人，其中參加數(shù)學(xué)競賽的有22人，參加物理競賽的有27人，參加化學(xué)競賽的有25人，只參加兩科競賽的有24人，參加三科競賽的有多少人?

A.2

B.3

C.5

D.7

【答案】C

【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類，用公式法解題。

第二步，設(shè)參加三科競賽的有x人，根據(jù)三集合非標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式可列方程：40-0=22+27+25-24-2x，解得x=5。

因此，選擇C選項。

通過上面三個例題我們發(fā)現(xiàn)，用公式法解決三集合容斥原理還是比較簡單的，只要我們掌握好公式，把公式記牢，考場中直接套用公式，那么容斥原理類的題目還是比較容易拿分的，所以我們要牢記公式。

祝每位考生都能取得理想成績，金榜題名就在今朝!

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