數(shù)學(xué)運(yùn)算解題技巧：兩集合容斥問題

　　數(shù)量關(guān)系中的數(shù)學(xué)運(yùn)算模塊歷來都是考場上學(xué)員們認(rèn)為最棘手的部分，難以在很短的時間內(nèi)切入有效的方法和技巧解答。這是因為，數(shù)學(xué)運(yùn)算一則考思維能力，二則考計算能力。容斥問題就是一類考察思維的題型，需要將不同情況加以區(qū)分，掌握好每種情況對應(yīng)的方法和技巧，就比較容易入手。本篇主要介紹兩集合容斥問題的解題技巧。

　　一、公式法

　　兩集合容斥問題，涉及到兩個集合之間的相容與排斥。舉個簡單的例子，幼兒園小班共有20個小朋友，其中10個小朋友暑假出去旅游，5人去了北京，7人去了青島。5+7＞10，則必然有小朋友既去了北京又去了青島。我們可以把去北京的小朋友看成集合A，去青島的小朋友看成集合B，去旅游的小朋友看成集合|A∪ B|，既去北京又去青島的小朋友看成集合|A∩ B|,則有：

　　

　　得出，總數(shù)-兩者都不滿足的個數(shù)=|A|+|B|-|A∩ B|

　　例1、某班共有56名學(xué)生，在第一次數(shù)學(xué)測驗中有24人得滿分，在第二次數(shù)學(xué)測驗中有33人得滿分。如果兩次測驗中都沒有得滿分的學(xué)生有14人，那么兩次測驗中都得滿分的人數(shù)是多少？（    ）（2010年湖北政法干警考試行測試卷第44題）

　　A、12　　　　B、13　　　　C、14　　　　D、15

　　答案：D　根據(jù)上述公式，總數(shù)-兩者都不滿足的個數(shù)=|A|+|B|-|A∩ B|，代入得|A∩ B|=24+33-（56-14）=15。

　　當(dāng)各種條件都明確給出時，適用公式法。另外，可以運(yùn)用尾數(shù)法，判斷個位數(shù)的相加減即可快速確定正確答案。

　　二、畫圖法

　　在公務(wù)員考試中，有些題目盡管是兩集合容斥問題，但直接使用公式的時候卻含有未知項，此時可以使用畫圖法，將題目已知條件依次標(biāo)示在圖中，即可得出所求的未知項。

　　例2、接受采訪的100個大學(xué)生中，88人有手機(jī)，76人有電腦，其中有手機(jī)沒電腦的共15人，則這100個學(xué)生中有電腦但沒手機(jī)的共有多少人？（    ）

　　A、25　　　　B、15　　　　C、5　　　　D、3

　　答案：D　根據(jù)題意，含有未知項不可直接使用公式，此時畫圖：

　　

　　根據(jù)圖示可得，有手機(jī)沒電腦（紅色區(qū)域）的人有15人，則即有手機(jī)又有電腦的有（88-15）=73人，所以有電腦沒手機(jī)（藍(lán)色區(qū)域）的有（76-73）=3人。

　　三、列表法

　　當(dāng)容斥問題中出現(xiàn)了四集合，而其中每兩個集合又不能相容的時候，不好直接運(yùn)用公式法，那么就可以采用列表法來解決四集合容斥問題，將題目已知條件依次填入表格中，即可求出未知項。

　　例3、某單位職工24人中，有女性11人，已婚的有16人。在婚的16人中有女性6人。問這個單位的未婚男性有多少人？（   ）

　　A、1　　　　B、3　　　　C、9　　　　D、12

　　答案：B　根據(jù)題意出現(xiàn)了四集合，男性、女性、已婚、未婚，且男與女、已婚與未婚不可相容。列表如下：

	已婚	未婚
男性		？
女性	6	5	11
	16	8

　　根據(jù)上述表格，職工總數(shù)24人，已婚16人，則未婚8人，而未婚女性是（11-6）=5人，則未婚男性3人。

　　兩集合容斥問題的公式法、畫圖法和列表法三種解題技巧，分別對應(yīng)于不同的情況：任意量都給出時直接使用公式法；含有某些未知量時使用畫圖法；四集合兩兩不能相容時使用列表法。熟練掌握各種情形下三種方法的使用，兩集合容斥問題就能快速解決。

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2011年9.17公務(wù)員聯(lián)考備考指導(dǎo)　2011年9.17公務(wù)員聯(lián)考輔導(dǎo)課程　歷年分?jǐn)?shù)線

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