2022年省考行測(cè)立體幾何中“螞蟻”與“壁虎”所引發(fā)的最短路徑問題

行測(cè)考試中，幾何問題是考查頻次較高的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，考查范圍可能是平面幾何或者立體幾何。但在立體幾何中，有這樣一類題型，就是讓一只“螞蟻”或者“壁虎”從幾何體中的某一個(gè)點(diǎn)到另外一個(gè)點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短距離。立體幾何實(shí)際上考查的是考生的空間想象能力，看考生是否能將數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用于其中，解決這一類題型最有效的辦法是將立體幾何展開構(gòu)成一個(gè)平面圖形，然后再進(jìn)行分析計(jì)算。那么，問題來了。請(qǐng)各位小伙伴思考一個(gè)問題，是否所有的路徑最短問題都是拆立體幾何為平面圖形嗎?

【例1】一只螞蟻從右圖的正方體頂點(diǎn)沿正方體的表面爬到正方體頂點(diǎn)，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，問該螞蟻爬過的最短路程為：

A.aB.a

C.()aD.()a

【答案】B

【解析】如下圖所示，把題干中的立體幾何正面展開構(gòu)成平面幾何，則螞蟻所爬行的路徑為AC，因“兩點(diǎn)之間直線距離最短”，為此只需要求出AC的長(zhǎng)度即可。因?yàn)橹苯侨�角形，為此AC==

因此，選擇B答案。

【例2】長(zhǎng)、寬、高分別為12cm、4cm、3cm的長(zhǎng)方體上，有一個(gè)螞蟻從A出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到獲取食物，其路程最小值是多少cm?

A.13B.

C.D.17

【答案】B

【解析】如下圖所示，仍然將長(zhǎng)方體展開為平面圖形，根據(jù)題干所求為的長(zhǎng)度，三角形為正方形，根據(jù)勾股定理即可求出，即=

因此，選擇B答案。

經(jīng)過以上兩個(gè)例子，不難看出，求幾何體中路徑最短問題，都是將立體幾何拆成平面幾何，然后采用勾股定理即可求出。那么，問題又來了。是不是所有的立體幾何拆成平面幾何以后，它所經(jīng)過的行徑就是最短距離呢?請(qǐng)接著往下看。

【例3】一個(gè)不計(jì)厚度的圓柱型無蓋透明塑料桶，桶高2.5分米，底面周長(zhǎng)為24分米，AB為底面直徑。在塑料桶內(nèi)壁桶底的B處有一只蚊子，此時(shí)，一只壁虎正好在塑料桶外壁的A處，則壁虎從外壁A處爬到內(nèi)壁B處吃到蚊子所爬過的最短路徑長(zhǎng)約為：

A.10.00分米B.12.25分米

C.12.64分米D.13.00分米

【答案】C

【解析】壁虎需要從外壁爬到內(nèi)壁去吃蚊子，為此最短路徑問題有兩種情況需要考慮。

(1)情況一：圓柱側(cè)面不展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，壁虎可以先豎直走上去，然后豎直走下去，再走直徑(桶是中空的)，此時(shí)，走過的距離為2.5+2.5+直徑(d)，根據(jù)πd=24，取π≈3.14，解得d≈7.64，此時(shí)走過的最短距離為2.5+2.5+7.64=12.64(分米)。

(2)情況二：圓柱側(cè)面展開為矩形，兩點(diǎn)之間線段最短，我們需要將A、B兩點(diǎn)放在同一個(gè)平面上連線即可，壁虎所經(jīng)過的行徑為AC+CB，現(xiàn)作BD的延長(zhǎng)線DP，使得DP+BD，連接CP，此時(shí)，即CP=CB，要使得AC+CP最短，只需AC+CP最短即可。當(dāng)A、C、P三點(diǎn)共線時(shí)距離最短，即三點(diǎn)都在同一直線上。為此在直角三角形ABP中，根據(jù)勾股定理，AB=12，，即AP=13分米。結(jié)合這兩種情況，第一種情況距離最短。

因此，選擇C選項(xiàng)。

思維導(dǎo)圖

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