2020青海省考行測備考：容斥問題中的最值問法

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容斥問題是考試中較為常見的一類題型，小伙伴們再練習(xí)的時候也樂于做這類題型，常常感覺這類題型的難度低，方法固定，比較容易求解。但在考試時，不少同學(xué)會發(fā)現(xiàn)原本簡單的容斥問題變難了，因為之前我們學(xué)過的容斥問題往往直接列方程求解即可，但是考題在設(shè)問中出現(xiàn)了“至少”兩個字，同學(xué)們便無從下手了。

那么當(dāng)容斥問題的設(shè)問中出現(xiàn)了“至多”、“至少”等最值問法時，我們應(yīng)該如何解題呢?我們常用的解法一般是設(shè)未知數(shù)列出不定方程，然后通過分析如何取最值的方法來求解。我們不妨通過幾道例題來總結(jié)一下這類題型的規(guī)律，希望對大家有所幫助。

【例1】(2018遼寧省公檢法)某班在籌備聯(lián)歡會時發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都會唱歌和樂器演奏，但有部分同學(xué)這2種才藝都不會。具體有4種情況：只會唱歌，只會樂器演奏，唱歌和樂器演奏都會，唱歌和樂器演奏都不會�，F(xiàn)知會唱歌的有22人，會樂器演奏的有15人，兩種都會的人數(shù)是兩種都不會的5倍。這個班至多有( )人。

A. 27 B. 30

C. 33 D. 36

【思路點撥】分析題干我們可以發(fā)現(xiàn)這是一個兩集合容斥問題，設(shè)問中出現(xiàn)了“至多”這種最值問法。

那么我們可以設(shè)該班共有x人，唱歌和樂器演奏都不會的有y人，則兩種都會的有5y人，根據(jù)二集合容斥公式可列出不定方程：x-y=22+15-5y，化簡得：x=37-4y。

要想x取值最大，則y應(yīng)最小，因為題干中提到有部分同學(xué)這2種才藝都不會，所以y最小取1而不能取0;當(dāng)取y=1時，x=33，故這個班至多有33人。因此，選擇C選項。

【例2】(2019國考)有100名員工去年和今年均參加考核，考核結(jié)果分為優(yōu)、良、中、差四個等次。今年考核結(jié)果為優(yōu)的人數(shù)是去年的1.2倍。今年考核結(jié)果為良及以下的人員占比比去年低15個百分點。問兩年考核結(jié)果均為優(yōu)的人數(shù)至少為多少人?

A. 55 B. 65

C. 75 D. 85

【思路點撥】本題是一個2集合的容斥問題，今年考核結(jié)果為優(yōu)的人可以看做一個集合，去年考核為優(yōu)的人看做另一個集合，設(shè)問中也出現(xiàn)了“至少”這種最值問法。

今年考核人數(shù)為良及以下的占比降低了15個百分點，則考核結(jié)果為優(yōu)的提高了15個百分點，兩年的總?cè)藬?shù)均為100，即今年考核結(jié)果為優(yōu)的增加了100×15%=15(人)。設(shè)去年考核為優(yōu)的人數(shù)為n，則列方程1.2n-n=15，解得去年人數(shù)n=75，今年人數(shù)是1.2×75=90(人)

設(shè)兩年考核結(jié)果均為優(yōu)的人數(shù)為x，兩年考核結(jié)果均不為優(yōu)的人數(shù)為y，根據(jù)兩集合的容斥原理公式可列等式：100-y=75+90-x;移項后可得x=65+y;根據(jù)等式可以分析出當(dāng)y最小時x最小，y最小可以取0，此時x=65。因此，選擇B選項。

【例3】(2015遼寧省考)有135人參加某單位的招聘，31人有英語證書和普通話證書，37人有英語證書和計算機證書，16人有普通話證書和計算機證書，其中一部分人有三種證書，而一部分人則只有一種證書。該單位要求必須至少有兩種上述證書的應(yīng)聘者才有資格參加面試。問至少有多少人不能參加面試?

A. 51 B. 50

C. 53 D. 52

【思路點撥】本題是一個三集合容斥問題，設(shè)問中出現(xiàn)了“至少”這種最值問法。

設(shè)持有三種證書的人數(shù)為z，不能參加面試的人數(shù)為y，根據(jù)“總?cè)藬?shù)-不能參加面試人數(shù)=有資格參加面試人數(shù)”可列出不定方程：135-y=31+37+16-2z;整理后可得：y=51+2z;想要讓y盡量的小，那么需要z取最小值，根據(jù)“其中一部分人有三種證書”可知z最小值為1，因此當(dāng)z=1時y最小，此時y=51+2=53(人)。因此，選擇C選項。

【例4】(2013遼寧省考)有100人參加運動會的三個項目，每人至少參加一項，其中未參加跳遠(yuǎn)的有50人，未參加跳高的有60人，未參加跑賽的有70人，問至少有多少人參加了不止一項活動?

A.7 B.10

C.15 D.20

【思路點撥】本題是一個三集合容斥問題，設(shè)問中出現(xiàn)了“至少”這種最值問法。

分析題干我們可以知道參加了跳遠(yuǎn)、跳高、跑賽的人數(shù)分別為50、40、30。共有50+40+30=120(人次)參加了這次活動。假設(shè)參加了一項、兩項、三項活動的分別有x人，y人、z人。則可以列出不定方程組：

由于我們要求的是y+z，因此消去x可得：y+2z=20;移項可得y+z=20-z;想要y+z最小，需要z最大;通過y+2z=20我們可以分析出z最大可以取10，此時y+z=10最大。因此，本題選擇B選項。

通過這幾道容斥問題的學(xué)習(xí)我們大致了解了這類題的解題方法，即通過設(shè)未知數(shù)的方法列出不定方程，然后根據(jù)未知數(shù)取最值的情況進(jìn)行分析，得出想要的結(jié)果。

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