隔板法的基礎(chǔ)與進(jìn)階應(yīng)用

同學(xué)們在學(xué)習(xí)排列組合問題時(shí)，應(yīng)該接觸到了其中的一類題目：將相同的m個(gè)元素，分成n份，每份至少一個(gè)，共有多少種分法。我們把解決此類問題的方法叫做隔板法。

在操作過程我們在m個(gè)元素間，即m-1個(gè)空中插入n-1個(gè)板子，將其分成了n份，于是我們得出公式。

這個(gè)公式稱為隔板法的基礎(chǔ)模型公式。從題型上來看，必須滿足：

1.n個(gè)元素必須相同，2.每個(gè)組至少分到一個(gè)元素。

應(yīng)用如下：

【例1】把7支相同的筆分給參加會議的4名教師，每人至少1支，至多3支，共有多少種分法?

A.32

B.20

C.16

D.10

【解析】第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類，用隔板法解題。

第二步，7支筆，每人至少1支，有(種)分法，根據(jù)每人至多3支，可知按4、1、1、1分配，有4種分法不符合題意，故共有20-4=16(種)分法。

因此，選擇C選項(xiàng)。

以上是以“每人分到元素至少一個(gè)”的基礎(chǔ)模型，在此基礎(chǔ)上，當(dāng)“每人分到元素至少大于1個(gè)時(shí)”又該怎么辦呢。

【例2】把20支相同的筆分給參加會議的4名教師，每人至少3支，共有多少種分法?

A.165

B.170

C.180

D.190

【解析】第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類，用隔板法解題。

第二步，先給每個(gè)老師每人分2只筆，此時(shí)題目轉(zhuǎn)換為還剩下12支筆，分給4個(gè)老師每人至少一支筆。符合隔板法基礎(chǔ)模型。共有種分法。因此選擇A選項(xiàng)。

所以當(dāng)每人分到的元素個(gè)數(shù)k大于1時(shí)先給每人分k-1個(gè)，將題目轉(zhuǎn)換為基礎(chǔ)模型再套用基礎(chǔ)公式即可。

那么當(dāng)“每人分得元素可以為0個(gè)”時(shí)呢。

【例3】把7支相同的筆分給參加會議的4名教師，允許有人分不到，共有多少種分法?

A.90

B.100

C.110

D.120

【解析】第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類，用隔板法解題。

第二步，先借來4支筆，每個(gè)老師每人分一支，此時(shí)題目轉(zhuǎn)換為11支相同的筆，分給4個(gè)老師，每人至少分一個(gè)的基礎(chǔ)模型題目，符合隔板法基礎(chǔ)模型。共有種分法。

因此選擇D選項(xiàng)。

綜上所述，我們所需要重點(diǎn)掌握的是隔板法的基礎(chǔ)模型，即將相同的m個(gè)元素，分成n份，每份至少一個(gè)。以及它的核心公式。

無論當(dāng)每人分得的元素大于1時(shí)，還是可以等于0時(shí)，核心思路都是將題目轉(zhuǎn)換為基礎(chǔ)模型并套用公式加以計(jì)算。希望大家以后在遇到此類問題時(shí)，能夠第一時(shí)間做到題目辨析，抓住分?jǐn)?shù)。

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