余數(shù)問題不再是公務(wù)員考試行測困擾題

　　余數(shù)問題是公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系中的困擾題，華圖陶老師通過7道典型例題剖析了如何讓余數(shù)問題不再是困擾公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系中的困擾題。

　　一、余數(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用

　　余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)=商…余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）

　　余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)

　　余數(shù)的關(guān)系式和恒等式比較簡單，但余數(shù)范圍（0≤余數(shù)＜除數(shù)）是部分題型的解題突破口，需要引起足夠的重視。關(guān)于余數(shù)范圍的應(yīng)用見下文例題：

　　【例1】兩個(gè)整數(shù)相除，商是5，余數(shù)是11，被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是99，求被除數(shù)是多少？（    ）

　　A.12                   B.41                    C.67                    D.71

　　【解析】余數(shù)是11，因此，根據(jù)余數(shù)的范圍（0≤余數(shù)＜除數(shù)），我們能夠確定除數(shù)＞11。除數(shù)為整數(shù)，所以除數(shù)≥12，根據(jù)余數(shù)的基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)≥12×商＋余數(shù)=12×5＋11=71，因此被除數(shù)最小為71，選D。

　　【例2】有四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是？

　　A. 216            B. 108            C. 314            D. 348

　　【解析】利用余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然數(shù)，于是A可以被5整除，同理，A還可以被6、7整除，因此，A可以表示為5、6、7的公倍數(shù)，即210n。由于A、B、C、D的和不超過400，所以A只能等于210，從而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，選C。

　　二、同余問題

　　同余問題在公務(wù)員考試中比較常見，主要是從除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系入手，來求得最終答案。 如：

　　【例3】一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，請問這個(gè)數(shù)如何表示？

　　【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A－1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍數(shù)為60，所以A－1就可以表示為60n，因此，A=60n+1。

　　結(jié)論：如果一個(gè)被除數(shù)的除數(shù)不同，余數(shù)相同，那么這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式可以表示為幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)共同的余數(shù)。

　　【例4】一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，請問這個(gè)數(shù)如何表示？

　　【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，那么會(huì)有A=4n₁+3，A=5n₂+2，A=6n₃+1。其中，A=4n₁+3=4(n₁－1)+4+3=4(n₁－1)+7，同理，A=5(n₂－1)+7，A= 6(n₃－1)+7，根據(jù)【例3】的結(jié)論，A= 60n+7。

　　結(jié)論：如果一個(gè)被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的和相等，那么這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式可以表示為幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)與余數(shù)的和。