雞兔同籠怎么辦？（二）

第一篇文章我們主要了解了雞兔同籠問題解題思想為盈虧思想，那么，我們利用盈虧思想可以解決其他雞兔同籠問題的延伸，今天我們就來了解一下雞兔同籠的變形題目。

1、“腳”數(shù)不是整數(shù)的情況。

【例1】紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元。問紅、藍(lán)鉛筆各買幾支?

A.13，3 B.12，4

C.14，2 D.11，5

【答案】A

【解析】以"分"作為錢的單位，我們?cè)O(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。

如此，把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題，利用盈虧思想，可得藍(lán)筆數(shù)=(19×16-280)÷(19-11)=24÷8=3(支)，紅筆數(shù)=16-3=13(支)，不用特意將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，所以，買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆。因此，選擇A。

【例2】一份稿件，甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成，乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成，甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事由乙接著打完，共用了7小時(shí)，甲打字用了多少小時(shí)?

A.3.5h B.4.5h

C.2.5h D.5.5h

【答案】B

【解析】我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù))，甲每小時(shí)打30÷6=5(份/小時(shí))，乙每小時(shí)打30÷10=3(份/小時(shí))。

把甲打字的時(shí)間看成“兔”頭數(shù)，乙打字的時(shí)間看成“雞”頭數(shù)，總頭數(shù)是7，“兔”的腳數(shù)是5，“雞”的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了。

根據(jù)前面的解題思想，“兔”數(shù)=(30-3×7)÷(5-3)=4.5;“雞”數(shù)=7-4.5=2.5也就是甲打字用了4.5小時(shí)，乙打字用了2.5小時(shí)。因此，選擇B。

2、未知量看起來很多的情況

【例3】1998年時(shí)，父母年齡(整數(shù))和是78歲，兄弟的年齡和是17歲。四年后(2002年)父親的年齡是弟弟的年齡的4倍，母親的年齡是兄的年齡的3倍。那么當(dāng)父親的年齡是哥哥的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年?

A.2005 B.2004

C.2003 D.2006

【答案】C

【解析】4年后，兩人年齡和都要加8，此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86。我們可以把哥哥的年齡看作“雞”頭數(shù)，弟弟的年齡看作“兔”頭數(shù)。25是“總頭數(shù)”，86是“總腳數(shù)”。

根據(jù)公式，哥哥的年齡是(25×4-86)÷(4-3)=14(歲)，1998年，哥哥年齡是14-4=10(歲);父親年齡是(25-14)×4-4=40(歲)。因此，當(dāng)父親的年齡是哥哥年齡的3倍時(shí)，哥哥的年齡是(40-10)÷(3-1)=15(歲)，這是2003年。所以公元2003年時(shí)，父親年齡是哥哥年齡的3倍。因此，選擇C。

3、動(dòng)物數(shù)多于兩種，特征值不止一種的情況

【例4】蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀。這三種小蟲共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀。每種小蟲各幾只?

A.5只蜘蛛，6只蜻蜓，7只蟬 B. 7只蜘蛛，6只蜻蜓，5只蟬

C.6只蜘蛛，5只蜻蜓，7只蟬 D. 5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬

【答案】D

【解析】因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成“8條腿”與“6條腿”兩種。利用盈虧思想就可以算出8條腿的蜘蛛數(shù)=(118-6×18)÷(8-6)=5(只)，因此就知道6條腿的小蟲共8-5=13(只)，也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對(duì)翅膀。再利用盈虧思想分析，蟬數(shù)=(13×2-20)÷(2-1)=6(只)，因此蜻蜓數(shù)是13-6=7(只)。

則有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。因此，選擇D。

4、有常量干擾的情況

【例5】某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對(duì)181道題，已知每人至少做對(duì)1道題，做對(duì)1道的有7人，5道全對(duì)的有6人，做對(duì)2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對(duì)4道的人數(shù)有多少人?

A.35 B.34

C.33 D.31

【答案】D

【解析】對(duì)2道，3道，4道題的人共有52-7-6=39(人)，他們共做對(duì)181-1×7-5×6=144(道)，由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人((2+3)÷2=2.5)，這樣“兔”腳數(shù)=4，“雞”腳數(shù)=2.5，總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39，對(duì)4道題的有(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31(人)，所以，做對(duì)4道題的有31人。因此，選擇D。

以上是雞兔同籠問題常見的幾種變形形式，希望大家能融會(huì)貫通，學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的過程一定要舉一反三。

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